（六）树和二叉树

二叉树

　　定义：二叉树是一种树型结构，它的特点是每个结点至多只有两棵子树，并且，二叉树的子树有左右之分，次序不能任意颠倒

　　性质：
　　　①在二叉树的第i层上至多有2^(i-1 )个结点（i≥1）
　　　②深度为k的二叉树至多有2^k-1个结点
　　　③对任何一棵二叉树T，如果其终端结点数为n0，度为2的结点数为n0=n2+1
　　　④具有n个结点的完全二叉树的深度为floor(log2 n)+1

　　二叉树的存储结构
　　　1.顺序存储结构
　　　

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　　　#define MAX_TREE_SIZE 100  //二叉树的最大结点数
　　　typedef TElemType SqBiTree[MAX_TREE_SIZE];  //0号单元存储根结点
　　　SqBiTree bt；

　　　将完全二叉树上的编号为i的结点元素存储在如上定义的一位数组中下标为i-1的分量中。
　　　最坏的情况下，一个深度为k且只有k个结点的单支树（树中不存在度为2的结点）却需要长度为2^k-1的一位数组
　　　仅适合用于完全二叉树

　　　2.链式存储结构
　　　

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　　　typedef struct BiTNode{
    　　TElemType  data;
　　　　struct BiTNode  *lchild, *rchild;  //左右孩子指针
　　　}BiTNode,*BiTree;

　　　遍历二叉树
　　　　1.先序遍历
　　　　
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　　　　Status Bitree::PreOrderTraverse(const BiTree &T) {
　　　　//先序遍历二叉树T，对每个结点调用函数PrintElement一次且仅一次
　　　　//一旦PrintElement失败，则操作失败
　　　　　if (T) {
　　　　　　PrintElement(T->data);
　　　　　　PreOrderTraverse(T->lchild);
　　　　　　PreOrderTraverse(T->rchild);
　　　　　}
　　　　　return OK;
　　　　}

　　　　
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　　　　Status PreOrderStack(const BiTree T){
   statck<BiTree> s;
   BiTree p=T;
   while(p||!s.empty()){
     if(p){
       PrintElement(p->data);
       if(p->rchild){
         s.push(p->rchild);
       }
       p=p->lchild;
     }else{
       p=s.top();
       s.pop();
     }
   }
}

　　　　2.中序遍历
　　　　
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　　　　Status Bitree::InOrderTraverse(const BiTree &T) {
　　　　//中序遍历二叉树T，对每个结点调用函数PrintElement一次且仅一次
　　　　//一旦PrintElement失败，则操作失败
　　　　　if (T) {
　　　　　　InOrderTraverse(T->lchild);
　　　　　　PrintElement(T->data);
　　　　　　InOrderTraverse(T->rchild);
　　　　　}
　　　　　return OK;
　　　　}

　　　　
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　　　　Status InOrderStack(const BiTree &T) {
  　　　　stack<BiTree> s;
BiTree p=T;
while(p||s.empty()){
  if(p){
    s.push(p);
    p=p->lchild;
  }else{
    p=s.top();
    PrintElement(p->data);
    p=p->rchild;
    s.pop();
  }
}
　　　　　return OK;
　　　　}

　　　　3.后序遍历
　　　　
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　　　　Status Bitree::PostOrderTraverse(const BiTree &T) {
　　　　//后序遍历二叉树T，对每个结点调用函数PrintElement一次且仅一次
　　　　//一旦PrintElement失败，则操作失败
　　　　　if (T) {
　　　　　　PostOrderTraverse(T->lchild);
　　　　　　PostOrderTraverse(T->rchild);
　　　　　　PrintElement(T->data);
　　　　　}
　　　　　return OK;
　　　　}

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Status PostOrderStack(BiTree T){
  Stack s;
  BiTree pre=NULL; //前一个已访问的节点
  InitStack(s);
  if(!T) return OK;
  Push(s,T);
  while(!StackEmpty(s)){
    BiTree cur;
     GetTop(s,cur);
      if((cur->lchild=NULL&&cur->rchild==Null)||(pre!=NULL&&(cur->lchild==pre||cur->rchild==pre))){
         visit(cur);
         pre=cur;
         Pop(s,cur);
      }else{
           if(cur->rchild){
             Push(s,cur->rchild);
           }
         if(cur->lchild){
           Push(s,cur->lchild);
          }

          }
     }
     return OK;
 }

　　　　4.层序遍历
　　　　
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　　　　Status Bitree::LevelOrderTraverse(const BiTree &T) {
　　　　//层序遍历二叉树T，对每个结点调用函数PrintElement一次且仅一次
　　　　//一旦PrintElement失败，则操作失败
　　　　　queue<BiTree> q;
　　　　　if(T){
　　　　　　q.push(T);
　　　　　　while (!q.empty()) {
　　　　　　　BiTree s=q.front();
　　　　　　　PrintElement(s->data);
　　　　　　　if (s->lchild != NULL) q.push(s->lchild);
　　　　　　　if (s->rchild != NULL) q.push(s->rchild);
　　　　　　　q.pop();
　　　　　　}
　　　　　}
　　　　　return OK;
　　　　}

　　　　线索二叉树
　　　　　利用n个结点的二叉树必有n+1个空链域存放指向某种遍历次序下的前驱结点或后继结点的指针

　　　　图示
　　　　　线索二叉树图示
　　　　　线索二叉树图示

　　　　数据结构
　　　　

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　　　　typedef enum PointTag{Link,Thread};  //Link==0;指针，Thread==1；线索
　　　　typedef struct BiThrNode{
　　　　　　TElemType  data;
　　　　　　struct BiThrNode  *lchild,*rchild;  //左右孩子指针
　　　　　　PointerTag  LTag,RTag;  //左右标志
　　　　}BiThrNode,*BiThrTree;

树和森林

　　相关术语
　　　树的结点：包含一个数据元素及若干指向其子树的分支
　　　度：结点拥有的子树数称为结点的度(Degree)
　　　叶子：度为0的结点
　　　分支结点：度不为0的结点

　　结点的层次
　　　从根开始定义起，根为第一层，根的孩子为第二层
　　　深度(Depth):树中结点的最大层次
　　　有序树：结点各子树看成从左至右是有次序的（即不能交换的）
　　　*无序树：结点各子树看成从左至右是无次序的（即可以交换的）
　　　*森林(Forest):m(m≥0)棵互不相交的树的集合

　　存储结构
　　　1.双亲表存储表示
　　　

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　　　#define MAX_TREE_SIZE 100
　　　typedef struct PTNode{
　　　　　TElemType  data;
　　　　　int  parent;   //双亲位置域
　　　}PTNode;
　　　typedef struct{
　　　　　PTNode nodes[MAXX_TREE_SIZE];
　　　　　int r,n;   //根的位置和结点数
　　　}PTree;

　　　利用每个结点（除根节点外）只有唯一双亲的性质求结点的孩子时需要遍历整个结构

　　　2.孩子链表存储表示
　　　

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　　　typedef struct CTNode{
　　　　　int child;
　　　　　struct CTNode *next;
　　　}*ChildPtr;
　　　typedef struct{
　　　　　TElemType  data;
　　　　　ChildPtr  firstchild;  //孩子链表头指针
　　　}CTBox;
　　　typedef struct{
　　　　　CTBox nodes[MAX_TREE_SIZE];
　　　　　int  n,r;  //结点数和根的位置
　　　}CTree;

　　　便于一些涉及孩子的操作，不适用于找双亲

　　　3.二叉链表（孩子-兄弟）存储表示）：
　　　

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　　　typedef structCSNode{
　　　　　ElemType  data;
　　　　　struct CSNode  *firstchild,*nextsibling;
　　　}CSNode,*CStree;

　　　便于实现各种树的操作

　　森林与二叉树的转换

　　　1.树变二叉树
　　　　兄弟相连，保留长子的连线

　　　2.二叉树变树
　　　　结点的右孩子与其双亲连

　　　3.森林变二叉树
　　　　树变而二叉树，各个树的根相连

哈夫曼树

　　　路径长度
　　　　路径上的分支数目

　　　树的路径长度
　　　　从树根到每个结点的路径长度之和

　　　树的带权路径长度
　　　　所有叶子结点的带权路径长度之和
　　　　WPL=∑（k=1,n）wk*lk
　　　WPL最小的二叉树称作最优二叉树或哈夫曼树

　　　构造
　　　　权值越大，应分配的路径长度越小
　　　　故：
　　　　　将所有带权结点加入集合，每次从结合中选取权值最小的两个结点，生成一个权值为两者权值之和的父节点，父节点加入集合，两个子节点移出集合，重复操作，直至集合只剩下一个结点，即根结点。

　　　应用
　　　　前缀编码

　　　数据结构
　　　

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　　　typedef struct{
　　　　　unsigned int  weight;
　　　　　unsigned int  parent,lchild,rchild;
　　　}HTNode,*HuffmanTree;   //动态分配数组存储哈夫曼树
　　　typedef char **HuffmanCode;  //动态分配数组存储哈夫曼编码表

二叉树代码

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#define TRUE 1
#define FALSE 0
#define OK 1
#define ERROR 0
#define INFEASIBLE -1
#define OVERFLOW_ -2

typedef int Status;
typedef char TElemType;

typedef struct BiTNode {
	TElemType data;
	struct BiTNode * lchild, * rchild;
}BiTNode, * BiTree;

class Bitree {
public:
	Status CreateBiTree(BiTree &T);
	//按先序次序输入二叉树中结点的值（一个字符）,空字符表示空树
	//构造二叉链表表示的二叉树T
	Status PreOrderTraverse(const BiTree &T);
	//先序遍历二叉树T，对每个结点调用函数PrintElement一次且仅一次
	Status InOrderTraverse(const BiTree &T);
	//中序遍历二叉树T，对每个结点调用函数PrintElement一次且仅一次
	//一旦PrintElement失败，则操作失败
	Status PostOrderTraverse(const BiTree &T);
	//后序遍历二叉树T，对每个结点调用函数PrintElement一次且仅一次
	//一旦PrintElement失败，则操作失败
	Status LevelOrderTraverse(const BiTree &T);
	//层序遍历二叉树T，对每个结点调用函数PrintElement一次且仅一次
	//一旦PrintElement失败，则操作失败
	Status DestroyTree(BiTree &T);
	//采用后续遍历销毁二叉树

	Status PrintElement(const TElemType &e) {
		//打印
		cout << e;
		return OK;
	}

	//--------树的应用-------
	Status SearchNode(const BiTree &T,const TElemType &value);
	//查找值为value的结点
	int Leaf(const BiTree &T);
	//求树的叶子数
	int SumNode(const BiTree &T);
	//求结点数
	int Depth(const BiTree &T);
	//求树的高度
	Status PathLeaf(const BiTree &T, stack<BiTree> &S);
	//求所有叶子结点的路径
	Status ExchangeChild(BiTree &T);
	//实现二叉树所有左右子女的互换
	Status MaxPath_PreOrderTraverse(const BiTree &T);
	//采用先序递归遍历算法，求返回第一个最长路径的长度，并输出路径上各节点的值

	Status PrintStack(const stack<BiTree> &S) {
		//遍历栈
		stack<BiTree> x;
		x = S;
		while (!x.empty()) {
			cout << x.top()->data;
			x.pop();
		}
		cout << endl;
		return OK;
	}

};

Status Bitree::CreateBiTree(BiTree &T) {
	//按先序次序输入二叉树中结点的值（一个字符）,空字符表示空树
	//构造二叉链表表示的二叉树T
	char ch;
	cin >> ch;
	if (ch == '#') T = NULL;
	else {
		if (!(T = new BiTNode)) exit(OVERFLOW_);
		T->data = ch;		//生成根结点
		CreateBiTree(T->lchild);  //构造左子树
		CreateBiTree(T->rchild);  //构造右子树
	}
	return OK;
}

Status Bitree::PreOrderTraverse(const BiTree &T) {
	//先序遍历二叉树T，对每个结点调用函数PrintElement一次且仅一次
	//一旦PrintElement失败，则操作失败
	if (T) {
		PrintElement(T->data);
		PreOrderTraverse(T->lchild);
		PreOrderTraverse(T->rchild);
	}
	return OK;
}

Status Bitree::InOrderTraverse(const BiTree &T) {
	//中序遍历二叉树T，对每个结点调用函数PrintElement一次且仅一次
	//一旦PrintElement失败，则操作失败
	if (T) {
		InOrderTraverse(T->lchild);
		PrintElement(T->data);
		InOrderTraverse(T->rchild);
	}
	return OK;
}

Status Bitree::PostOrderTraverse(const BiTree &T) {
	//后序遍历二叉树T，对每个结点调用函数PrintElement一次且仅一次
	//一旦PrintElement失败，则操作失败
	if (T) {
		PostOrderTraverse(T->lchild);
		PostOrderTraverse(T->rchild);
		PrintElement(T->data);
	}
	return OK;
}

Status Bitree::LevelOrderTraverse(const BiTree &T) {
	//层序遍历二叉树T，对每个结点调用函数PrintElement一次且仅一次
	//一旦PrintElement失败，则操作失败
	/* vector<BiTree> Parents;
	vector<BiTree> Children;
	vector<BiTree> AllNode;
	Parents.push_back(T); //根结点入向量
	AllNode.push_back(T); //根结点入总结点向量
	do {
		Children.swap(vector<BiTree>());//暂时清空
		for (unsigned i = 0; i < Parents.size(); i++) {
			if (Parents[i]->lchild) {
				AllNode.push_back(Parents[i]->lchild);
				Children.push_back(Parents[i]->lchild);
			}

			if (Parents[i]->rchild) {
				AllNode.push_back(Parents[i]->rchild);
				Children.push_back(Parents[i]->rchild);
			}
		}
		Parents.swap(vector<BiTree>()); //暂时清空
		for (unsigned i = 0; i < Children.size(); i++) {
			Parents.push_back(Children[i]);
		}
	} while (Parents.size() != 0);
	for (unsigned i = 0; i < AllNode.size(); i++) {
		PrintElement(AllNode[i]->data);
	} */

	queue<BiTree> q;
	if(T){
		q.push(T);
		while (!q.empty()) {
			BiTree s=q.front();
			PrintElement(s->data);
			if (s->lchild != NULL) q.push(s->lchild);
			if (s->rchild != NULL) q.push(s->rchild);
			q.pop();
		}
	}

	return OK;
}

Status Bitree::DestroyTree(BiTree &T) {
	//销毁二叉树
	if (T) { //后序遍历销毁
		DestroyTree(T->lchild);
		DestroyTree(T->rchild);
		delete T;
	}
	T = NULL; //空树标志，仅用于判断空树
	return OK;
}

Status Bitree::SearchNode(const BiTree &T,const TElemType &value) {
	//查找值为value的结点
	if (T) {
		if (T->data == value) {
			cout << "存在值为value的结点" << endl;
			return OK;
		}
		else {
			if (!SearchNode(T->lchild, value)) { //避免树中存在重复值，即在左子树找到值时则不必进入右子树继续查找
				SearchNode(T->rchild, value);
			}
			else
				return OK;
		}
	}
	else
		return ERROR; //查询无果！
}

int Bitree::Leaf(const BiTree &T) {
	//求树的叶子数
	if (!T)  //当前结点不存在，则叶子数为0
		return 0;
	else if (T->lchild == NULL&&T->rchild == NULL) //当前结点的左右孩子为空时，此结点为叶子，叶子数增1
		return 1;
	else
		return Leaf(T->lchild) + Leaf(T->rchild);
	//对于每个结点都采用先判断是否存在，而后是否左右孩子为空，最后对于上述两种情况不存在时，进行两个子树的叶子数求和，以此类推
}

int Bitree::SumNode(const BiTree &T) {
	//求结点数
	if (!T)
		return 0;
	else {
		return SumNode(T->lchild) + SumNode(T->rchild) + 1; //左右子树结点数求和并上自身结点
	}
}

int Bitree::Depth(const BiTree &T) {
	//求树的高度
	if (!T)
		return 0;
	else
		return (Depth(T->lchild) > Depth(T->rchild) ? Depth(T->lchild) : Depth(T->rchild)) + 1; //高度为根结点自身加上两子树高度最大值
}

/*
typedef struct BiTree {
	TElemType data;
	struct BiTree * lchild, * rchild;
}BiTree, * BiTree;

Ctrl+K+D
int Length = -1;
int MaxLength = 0;
Stack S;
Stack Max;
InitStack(S);
InitStack(Max);
Status MaxPath_PreOrderTraverse(BiTree &T，int Length) {
	//采用先序递归遍历算法，求返回第一个最长路径的长度，并输出路径上各节点的值
	if (T) {
		PushBack(S, T);
		Length++;
		MaxPath_PreOrderTraverse(T->lchild, Length);//访问左孩子
		MaxPath_PreOrderTraverse(T->rchild, Length);//访问右孩子
		if ((!T->lchild) && (!T->rchild)) { //叶子节点
			if (Length > MaxLength) {
				MaxLength = Length;
				ClearStack(Max);
				CopyStack(Max, S);
			}
		}

	}
	Length--;//长度退回父节点
	PopStack(S);//节点退回至父节点
	return OK;
}
Status TraverseStack(Stack Max) {
	//逆向遍历栈
	for (p = Max.base; p != Max.top - 1; p++)
		cout << p->data;
	return OK;
}
*/

Status MaxPath_PreOrderTraverse(const BiTree &T,stack<BiTree> &S);
	//采用先序递归遍历算法，求返回第一个最长路径的长度，并输出路径上各节点的值
Status Bitree::PathLeaf(const BiTree &T, stack<BiTree> &S) {
	//求所有叶子结点的路径
	S.push(T);
	if (T) {
		if (T->lchild == NULL&&T->rchild == NULL) {
			PrintStack(S);
		}
		else {
			PathLeaf(T->lchild, S);
			S.pop();  
			PathLeaf(T->rchild, S);
			S.pop();
		}
	}
	return OK;
}

/* 上述代码等同于下列代码
    //分析如下：
	//两者最大的不同为上述为引用参数,而下述代码为非引用参数，传递时仅是备份传入，
	//即把根结点的左或右孩子入栈进行相应操作后，返回当前根结点时，栈仍然为仅将根结点入栈的状况，故不用考虑出栈
Status Bitree::PathLeaf(const BiTree &T, stack<BiTree> S) {
	//求所有叶子结点的路径
	S.push(T);
	if (T) {
		if (T->lchild == NULL&&T->rchild == NULL) {
			PrintStack(S);
		}
		else {
			PathLeaf(T->lchild, S);
			PathLeaf(T->rchild, S);
		}
	}
	return OK;
}
*/
Status Bitree::ExchangeChild(BiTree &T){
	//实现二叉树所有左右子女的互换
	BiTree temp;
	if(T){
		temp=T->lchild;
		T->lchild=T->rchild;
		T->rchild=temp;
		ExchangeChild(T->lchild);
		ExchangeChild(T->rchild);
	}
	return OK;
}

哈夫曼树代码

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#define TRUE 1
#define FALSE 0
#define OK 1
#define ERROR 0
#define INFEASIBLE -1
#define OVERFLOW_ -2
typedef int Status;
typedef char TElemType;
using namespace std;
typedef struct{
	unsigned int weight;
	unsigned int parent,lchild,rchild;
}HTNode,*HuffmanTree;
typedef char * * HuffmanCode;

bool cmp(HuffmanTree a, HuffmanTree b){
	return a->weight<b->weight;
}

Status Init(unsigned int *w,int n) {
	for (int i = 0; i < n; i++) {
		cin >> w[i];
	}
	return OK;
}

Status Select(HuffmanTree HT,int number,int &s1,int &s2){
	//在HT[1..number]选择parent为0且weight最小的两个结点，其序号分别为s1和s2
	//HuffmanTree p=HT;
	//sort(p+1,p+number+1,cmp);//按权值升序排列
	for (int i = 1; i <= number; i++) {
		if (HT[i].parent == 0) {
			s1 = i;
			break;
		}
	}
	for (int i = 1; i <= number; i++) {
		if (HT[i].parent == 0 && HT[i].weight < HT[s1].weight)
			s1 = i;
	}
	for (int i = 1; i <= number; i++) {
		if (HT[i].parent == 0&&i!=s1){
			s2 = i;
			break;
		}
	}
	for (int i = 1; i <= number; i++) {
		if (HT[i].parent == 0 && i!=s1&&HT[i].weight < HT[s2].weight)
			s2 = i;
	}
	return OK;
}

Status HuffmanCoding(HuffmanTree &HT,HuffmanCode &HC,unsigned int *w,unsigned int n){
	//w存放n个字符的权值（均>0），构造哈弗曼树HT，并求出n个字符的哈弗曼编码HC
	if(n<=1) return ERROR;
	unsigned int m=2*n-1;
	HT=(HuffmanTree)malloc((m+1)*sizeof(HTNode));
	unsigned int i;
	HuffmanTree p;
	for(p=HT+1,i=1;i<=n;++i,++p,++w) *p={*w,0,0,0};
	for (; i <= m; ++i, ++p) *p = { 0,0,0,0 };
	for(i=n+1;i<=m;i++){ //创建哈弗曼树
		//在HT[1...i-1]选择parent为0且weight最小的两个结点，其序号分别为s1和s2.
		int s1,s2;
		Select(HT,i-1,s1,s2);
		HT[s1].parent=i;HT[s2].parent=i;
		HT[i].lchild=s1;HT[i].rchild=s2;
		HT[i].weight=HT[s1].weight+HT[s2].weight;
	}
	//---从叶子到根逆向求每个字符的哈弗曼编码---
	HC=(HuffmanCode)malloc((n+1)*sizeof(char*)); //分配n个字符编码的头指针向量
	char *cd=(char*)malloc(n*sizeof(char));//分配求编码的工作空间
	cd[n-1]='\0';
	for(i=1;i<=n;++i){ //逐个字符求哈弗曼编码
		unsigned int start=n-1;
		for(unsigned int c=i,f=HT[i].parent;f!=0;c=f,f=HT[f].parent) //从叶子到根逆向求编码
			if(HT[f].lchild==c) cd[--start]='0';
			else cd[--start]='1';
		HC[i]=(char*)malloc((n-start)*sizeof(char));//为第i个字符编码分配空间
		//strcpy(HC[i], &cd[start]);
		strcpy_s(HC[i],n-start,&cd[start]);
	}

	free(cd);   //释放工作空间
	return OK;
}
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    缺失模块。
    1、请确保node版本大于6.2
    2、在博客根目录（注意不是yilia根目录）执行以下命令：
    npm i hexo-generator-json-content --save

    3、在根目录_config.yml里添加配置： 

      jsonContent:
    meta: false
    pages: false
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做一个安静细微的人，<br> 于角落里自在开放，<br> 默默悦人，<br> 却始终不引起过分热闹的关注，<br> 保有独立而随意的品格，<br> 这就很好。<br><br> Stick to what you insist on,<br> believe what you believe!<br> Life hastily for decades,<br> do what I can!